Punto critico

El punto critico,tambien llamado valor critico es aquel punto de la funcion diferenciable en ese punto en donde la primer derivada es igual a cero o bien la derivada no existe.

la derivada

La derivada es el limite del cociente del incrmento de la variable dependiente entre el incremento de la variable independiente, cuando este tiende a cero, lim ^x-o= ^y/^x.

Las notaciones mas comunes para indicar la operacion derivada de una funcion con respecto a x son las siguientes:
Notacion de Lagrange y' o f'
Notacion de Cauchy Dxy o Dxf
Notacion de Leibniz dy/dx o df /dx
La expresion para derivada de una funcion es:
Si se usa f' :
Se lee: la derivada de la funcion f es ...
Para hayar la derivada se procede a resolver la razon de cambip promedio y posteriormente se obtiene el limite de dicha razon cuando el incremento de x tiende a cero.


Reglas Basicas
1. Para una constante "a"
Si f =a, su derivada es f' =0
>>> Ejemplo
Si f =16, su derivada f' =0
2. Para la funcion identidad f =x
Si f =x, su derivada es f' =1
3. Para una constante "a" por una variable "x"
Si f =ax, su derivada es f' =a
>>> Ejemplo
Si f =7x, su derivada es f' =7
4. Para una variable "x" elevada a una potencia "n"
Si f =nxn-1
>>> Ejemplo
Si f =x3, su derivada es f
5. Para una constante "a" por una variable "x" elevada a una potencia "n"
Si f =axn, su derivada es f' =anxn-1
>>> Ejemplo
Si f =4x2, su derivada es f' =8x
6. Para una suma de funciones
Si f =u +v , su derivada es f' =u' +v'
>>> Ejemplo
Si f =3x2+4x, su derivada es f' =6x+4
7. Regla del producto
Esta regla es util cuando se tiene una funcion formada de la multiplicacion de polinomios, como por ejemplo: f 2x3+3)(3x4-5); la regla del producto es:
Si "u" y "v" son los polinomios:
La funcion: f =uv
Su derivada: f' =u'v+uv'
8. Regla del cociente
Esta regla es util cuando se tiene una funcion de la division de polinomios, como por ejemplo: f =2x3+3/3x4-5, la regla de cociente es:
Si "u" y "v" son los polinomios:
La funcion: f =uv
Su derivada: f' =u'v+uv'
8. Regla del cociente
Esta regla es util cuando se tiene una funcion de la division de polinomios, como por ejemplo: f =2x3+3/3x4-5, la regla de cociente es:
Si "uç" y "v" son los polinomios:
La funcion: u/v
Su derivada: f' =u'v-uv'/v2
9. Regla de cadena
Esta regla es util cuando se tiene una funcion formada por un polinomio elevado a una potencia, como por ejemplo: f 2x3+3)5
Si "u" es el polinomio:
La funcion: f =un
Su derivada: f' =n n-1(u')

En algunas ocaciones es necesario calcular la derivada de una derivada a este acto se le denomina derivada de orden superior.
Para determinar una derivada de orden superior en sí se debe proceder a calcular la derivada de primer orden, luego sí cálculo la derivada derivada de primer orden, continuo con la derivada de la segunda y asi sucesivamente derivada hasta Llegar a la derivada deseada.
La notacion comun utilizada pára las derivadas de orden superior es la siguiente:
Primer derivada: dy/dx = f '(y) = y'
Segunda derivada: d2y/dx2 = f'(y)' =''y
Tercera derivada: d3y/dx3 = f''' (y) =''y'
Cuarta derivada: d4y/dx4 = f (4) y = (4)
Enesima derivada: dny/dxn = f = y

linea tangente

La linea tangente es la recta que toca un punto de la curva.
Punto de tangencia es el punto en comun de la curva y de la linea tangente.
Para determinar la liena tangente es necesario conocer la pendiente empleando la derivada (m = f(x1), y conocer la formula de punto-pendiente (y-y1 = m(x-x1).
Existen 2 casos diferentes donde se te pide que encuentres la linea tangente, se recomienda que se sigan los siguientes pasos para encontrarla:

Caso 1
Es cuando se nos presentan 3 datos (la funcion, el punto "x" y el punto "y")
A continuacion se presenta un ejemplo donde tambien se expondran los pasos a seguir para este caso.
f =x2-4x+8 Punto de Tangencia (x=3, y=5)
-Paso 1
-Se deriva la funcion
f =x2-4x+8
f' =2x-4

-Paso 2
-Se sustituye el punto de "x" en la fucncion derivada (de hay saldra la pendiente).
f(3)=2(3)+4
f(3)=6-4
m=6-4 = 2 m=2

-Paso 3
-Se sustituye el punto de tangencia en la ecuacion de punto-pendiente.
y-y1=m(x-x1)
y-5=2(x-3)
y=2x-6+5
y=2x-1
Concluye el caso 1, pasamos al caso 2.

Caso 2
En los ejercicios para determinar la linea tangente de una funcion derivada en la que nos aportan solo 2 datos se aplican los siguientes pasos:
Ejemplo:
f =x2-2x+4 x=3
-Paso 1
-Es nesesario sustituir "x" en la funcion para sacar "y".
f(3) 3)2-2(3)+4
f(3)=9-6+4
f(3)=7 y=7

-Paso 2
-Ahora derivamos la función
f =x2-2x+4
f' =2x-2

-Paso 3
-Sustituimos el punto de "x" en la funcion para sacar la pendiente.
f(3)=2(3)-2
f(3)=6-2
m=6-2=4 m=4

-Paso 4
-Ahora sustituimos el punto tangencia en la ecuacion punto.pendiente.
y-y1=m(x-x1)
y-7=4(x-3)
y=4x-12+7
y=4x-5
Concluye el caso 2.

"Preparatoria No. 25 Dr. Eduardo Aguirre Pequeño"

Nombre: Valeria Carolina García Armendáriz.

Grupo: 422 Matrícula: 1483593